Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,坐标与图形性质,勾股定理

专题：

分析：解答本题要注意当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，此时四边形ABCD的面积最大，求出对角线AC、BD的长度可以求得四边形ABCD的最大面积，当BD为圆的直径时可以求得圆的最小面积，两者相减，得到答案．

解答：解：（1）当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，这时O到弦的距离为：OM×sin45=

6

2

，
由勾股定理及垂径定理知弦长为：

10

，
∴S=

1

2

×

10

×

10

=5；
（2）当弦BD经过圆心O，此时四边形ABCD的面积最小，此时
∵M（1，

2

），
∴OM=

3

，MC=1，
根据垂径定理，AC=2MC=2，
∴BD=4，
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5-4=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．