Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC．
（1）求该抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）P是线段OB上的一点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线交于D点，直线BC能否把△PBD分成面积之比为2：3的两部分？如能，请求出点P的坐标；如不能，请说明由．

Answer 1

分析：（1）本题的突破口是OB=OC．要求抛物线的解析式指需要求出m的值即可，当x=0时可以求出C点的坐标（0，m）可以得知B（-m，o），将其代入解析式可以求出m的值，而求出解析式．
（2）关键是BC与PD的交点E坐标的确定，可以根据抛物线的解析式求出BC的解析式，然后设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标和点D的坐标，根据所分得的两三角形的面积之比的关系可以表示出等量关系从而求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵OB=OC，
∴C（0，m），B（-m，0）
∴m²+4m+m=0，解m=-5
∴y=x²-4x-5，（2分），B（5，0），（2分）

（2）由题意得直线BC的解析式y=x-5，设BC交PD于点E，（2
设点P（a，o），则D（a，a²-4a-5），E（a，a-5）
（Ⅰ）当

S△PBE

S△BED

=

2

3

时，

-(a-5)

-(a2-4a-5)

=

2

5

，解得a=5（舍去），a=

3

2

，（3分）
（Ⅱ）当

S△BED

S△PDE

=

2

3

时，

-(a2-4a-5)

-(a-5)

=

5

3

，解得a=5（舍去），a=

2

3

，（3分）
∴点P的坐标，(

3

2

，0)，(

2

3

，0)．

点评：本题考查的是一道二次函数的综合题，这种综合性较强的题每题都有一个关键和突破口，这需要学生去把握．这个关键往往是用等式的形式表示出来．这是综合题的一般特征．本题涉及到了利用三角形的面积比求点的坐标．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．