Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，则四边形EMCH是矩形，得出EM=CH，CM=EH，由正方形的性质得出BC=CD=3，∠ABC=90°，AB=CB，∠ABE=∠CBE=∠BDC=45°，证明△ABE≌△CBE得出EA=EF，∠BAE=∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，得出△ADE的面积=△CDE的面积，由已知得出△CDE：△CEF的面积=3：5，证明A、B、F、E四点共圆，由圆周角定理得出∠GEF=∠BAF，∠EFC=∠BAE=∠BCE，得出EF=EC，由等腰三角形的性质得出FM=CM=EH=DH，设FM=CM=EH=DH=x，则FC=2x，EM=HC=3-x，由△CDE：△CEF的面积=3：5得出方程，解得：x=，得出FC=1，BF=BC-FC=2，由勾股定理求出AF＝，即可得出结果．

解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：

则四边形EMCH是矩形，

∴EM＝CH，CM＝EH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，

在△ABE和△CBE中，，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，

同理：△ADE≌△CDE，

∴△ADE的面积＝△CDE的面积，

∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，

∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠ABC+∠AEF＝180°，

∴A、B、F、E四点共圆，

∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，

∴EF＝EC，

∵EM⊥BC，

∴FM＝CM＝EH＝DH，

设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，

∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，

∴，

解得：x＝，

∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，

∴AF＝，

∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；

故答案为：．