Question

【题目】如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]

（1）k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；

（3）存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．

（4）在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

【解析】

试题分析：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；

（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；

（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．

解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3

∴y=x2﹣2x﹣3，

令y=0，

即x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM．

则△AOC的面积=，△MOC的面积=，

△MOB的面积=6，

∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．

说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面

积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

（3）如图（2），设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD．

则0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0

且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，

△DOB的面积=﹣（m2﹣2m﹣3），

∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积

=﹣m2+m+6

=﹣（m﹣）2+．

∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．

（4）有两种情况：

如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．

∵∠CBO=45°，

∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴点E的坐标为（0，3）．

∴直线BE的解析式为y=﹣x+3．

由

解得

∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．

如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．

∵∠CBO=45°，

∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴点F的坐标为（﹣3，0）．

∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3．

由

解得

∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．

综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．