Question

8．已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线与BE的延长线交于A点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=4，CD=6，求$\frac{DE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证OD⊥AC即可；由于BC且⊙O于B，根据切线的性质知∠CBO=90°，所以可通过证△CBO≌△CDO来得到∠ODC=90°的结论；已知的等量条件有：OB=OD、OC=OC，还需证得∠COD=∠COB，由于OE=OD，得∠ODE=∠OED，由OC∥DE，得∠OED=∠COB，等量代换后即可得∠COD=∠COB，由此得证．
（2）由于DE∥OC，那么同位角∠ADE=∠OCA=∠OCB，因此只需在Rt△OCB中求得∠OCB的正切值即可，由切线长定理可知BC=CD=6，缺少的条件是⊙O的半径长；易证得△ADO∽△ABC，易知AC、BC的值，由勾股定理可求得AB的长，进而可根据相似三角形所得比例线段求得OD的长，求出BE=3OD=6，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，由于△ADE∽△ACO，于是得到$\frac{AE}{AO}=\frac{DE}{OC}$，即$\frac{2}{5}=\frac{DE}{3\sqrt{5}}$，求得DE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∵ED∥OC，
∴∠DEO=∠COB，∠EDO=∠DOC，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠COB，
∵OC=OC，OD=OB，
∴△CDO≌△CBO；
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC，BC是⊙O的切线，
∴CD=CB=6，∠DCO=∠OCB，
∵∠ABC=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8，
∵ED∥OC，
∴∠ADE=∠DCO，
∴∠ADE=∠OCB，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴OD=3，
∴BE=3OD=6，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴$\frac{AE}{AO}=\frac{DE}{OC}$，即$\frac{2}{5}=\frac{DE}{3\sqrt{5}}$，
∴DE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握切线 的判定和性质是解题的关键．