Question

2．已知：抛物线C₁的顶点为（1，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=4，
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）若直线y=x+m与抛物线C₁相交于M、N两点，且MN=$\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称轴性可得A（-1，0），B（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入计算出a即可得到抛物线解析式；
（2）设M（a，a+m），、N（b，b+m），根据两函数图象的交点问题可得M、N两点的横纵坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，则x²-x+m-3=0，利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=m-3，然后根据两点间的距离公式可得（a-b）²+（a+m-b-m）²=10，即（a+b）²-4ab=5，所以1-4（m-3）=5，最后解m的一次方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₁的顶点为（1，4），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
而AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，4）代入得a•2•（-2）=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）设M（a，a+m），、N（b，b+m），则M、N两点的横纵坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
消去y得x²-x+m-3=0，
∴a+b=1，ab=m-3，
∵MN²=（a-b）²+（a+m-b-m）²=2（a-b）²，
∴2（a-b）²=10，
∴（a+b）²-4ab=5，
∴1-4（m-3）=5，
∴m=2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线与一次函数的交点问题和根与系数的关系．