Question

已知抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线的解析式 ______，伴随直线的解析式 ______；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是 ______；
（3）求抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；
（4）若抛物线L与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₂＞x₁＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．

Answer 1

（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3；
（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴

4ac-b2

4a

=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax²+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直线上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴随直线解析式为y=

b

2

x+c；
（4）∵抛物线L与x轴有两交点，
∴△₁=b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac；
∵x₂＞x₁＞0，
∴x₂+x₁=-

b

a

＞0，x₁•x₂=

c

a

＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
对于伴随抛物线有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±

c a

．
∴C（-

c a

，0），D（

c a

，0），CD=2

c a

，
又AB=x₂-x₁=

(x2-x1)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac

|a|

，
∵AB=CD，则有：2

c a

=

b2-4ac

|a|

，即b²=8ac，
综合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需满足的条件为：
b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．