Question

18．在△ABC中，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF=∠BED，∠AFE=∠BDE．
（1）如图1，DG⊥BC于G，当∠A=90°，AB=AC时，求$\frac{EG}{AD}$的值．
（2）如图2，当∠A≠90°，DE=DF时，求证：BE=AB；
（3）如图3，当∠A=90°，DE＜DF时，若AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，求$\frac{AF}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出点A，D，E，F四点共圆，进而判断出∠BAE=∠CAE=45°，即可得出AE⊥BC，再利用勾股定理得出AB-$\sqrt{2}$BE，即可得出结论．
（2）先判断出A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；
（3）同（2）的方法得出∠EAF=∠B，进而判断出AE⊥BC，再利用直角三角形的性质求出AE，BE，最后用△AEF∽△BED得出的比例式即可得出解．

解答 （1）如图1，连接AE，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AFE=∠BDE，∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴点A，D，E，F四点共圆，
∴∠ADF=∠AEF，
∵∠ADF=∠BDE，
∴∠AEF=∠BDE，
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠EAF=∠B=45°（根据三角形的内角和定理），
∴∠BAE=∠EAF=45°，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∵DG⊥BC，
∴DG∥AE，
∴$\frac{EG}{BE}=\frac{AD}{AB}$，
在Rt△ABE中，∠B=∠BAE=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$BE，
∴$\frac{EG}{AD}=\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图2，连结AE．
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．
∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，
∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，
∴AB=BE；

（3）如图3，连接AE，
同（1）的方法得出，点A，D，E，F四点共圆，
∴∠ADF=∠AEF，
∵∠ADF=∠BED，
∴∠AEF=∠BED，
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠EAF=∠B，
∴∠BAE+∠B=∠BAE+∠EAF=∠A=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，根据勾股定理得，AC=2，
根据面积公式得，AB•AC=BC•AE，
∴AE=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠AFE=∠BDE，∠AEF=∠BED，
∴△AEF∽△BED，
∴$\frac{AF}{BD}=\frac{AE}{BE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了，四点共圆的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出AE⊥BC，解（2）的关键是判断出∠ADF=∠DEB=∠AEF，解（3）的关键是判断出AE⊥BC，是一道很好的中考常考题．