【题目】如图,已知抛物线y=x-ax+a-4a-4与x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点D(0,8),直线DC平行于x轴,交抛物线于另一点C,动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发,沿C→D运动,同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A→B运动,连接PQ、CB,设点P运动的时间为t秒.
(1)求a的值;(2)当四边形ODPQ为矩形时,求这个矩形的面积;(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.(4)当t为何值时,△PBQ是等腰三角形?(直接写出答案)
【答案】(1)8(2)(3)(4)
【解析】解:(1)∵抛物线y=x-ax+a-4a-4经过点(0,8)
∴a-4a-4=8
解得:a=6,a=-2(不合题意,舍去)
∴a的值为6
(2)由(1)可得抛物线的解析式为
y=x-6x+8
当y=0时,x-6x+8=0
解得:x=2,x=4
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(4,0)
当y=8时,
x=0或x=6
∴D点的坐标为(0,8),C点坐标为(6,8)
DP=6-2t,OQ=2+t
当四边形OQPD为矩形时,DP=OQ
2+t=6-2t,t=,OQ=2+=
S=8×=
即矩形OQPD的面积为
(3)四边形PQBC的面积为,当此四边形的面积为14时,
(2-t+2t)×8=14
解得t=(秒)
当t=时,四边形PQBC的面积为14
(4)过点P作PE⊥AB于E,连接PB,
当QE=BE时,△PBQ是等腰三角形,
∵CP=2t,
∴DP=6-2t,
∴BE=OB-PD=4-(6-2t)=2t-2,
∵OQ=2+t,
∴QE=PD-OQ=6-2t-(2+t)=4-3t,
∴4-3t=2t-2,
解得:t= ,
∴当t= 时,△PBQ是等腰三角形
t=时,PBQ是等腰三角形.
(1)把点D(0,8)代入抛物线y=x2-ax+a2-4a-4解方程即可解答;
(2)利用(1)中求得的抛物线,求得点A、B、C、D四点坐标,再利用矩形的判定与性质解得即可;
(3)利用梯形的面积计算方法解决问题;
(4)只考虑PQ=PB,其他不符合实际情况,即可找到问题的答案
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【题目】如图线段AB和CD表示两面镜子,且直线AB∥直线CD,光线EF经过镜子AB反射到镜予CD,最后反射到光线GH.光线反射时,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论:①直线EF平行于直线GH;②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB;③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线;④当CD绕点G顺时针旋转90时,直线EF与直线GH不一定平行,其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①③
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【题目】⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG,与弦BC相交于点D,连接AG、CP、PB.
(1)如图1,求证:AG=CP;
(2)如图2,过点P作AB的垂线,垂足为点H,连接DH,求证:DH∥AG;
(3)如图3,连接PA,延长HD分别与PA、PC相交于点K、F,已知FK=2,△ODH的面积为2,求AC的长.
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【题目】阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)
∴∠1=∠4( )
∴c∥a( )
又∵∠2+∠3=180°(已知 )
∠3=∠6( )
∴∠2+∠6=180°( )
∴a∥b( )
∴c∥b( )
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【题目】如图,已知在长方形ABCD中,将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置,点F在对角线AC上,若BE=3,EC=5,则线段CD的长是__________.
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【题目】如图, ∠B、∠D的两边分别平行。
(1)在图1中,∠B与∠D的数量关系是 ;在图2中,∠B与∠FDC的数量关系是 ;
(2)用一句话归纳的结论为: ;
(3)已知∠α的两边与∠β的两边分别平行,并且∠α比∠β的3倍少,求∠α、∠β的度数.
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【题目】如图,O为坐标原点,点A(1,5)和点B(m,1)均在反比例函数y=图象上.
(1)求m,k的值;
(2)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积.
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【题目】某学校对学生的暑假参加志愿服务时间进行抽样调查,将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理,并绘制成如下的统计图表(图中信息不完整).
请结合以上信息解答下列问题
(1)求a、m、n的值.
(2)补全“人数分组统计图①中C组的人数和图②A组和B组的比例值”.
(3)若全校学生人数为800人,请估计全校参加志愿服务时间在30≤x<40的范围的学生人数.
分组统计表
组别 | 志愿服务时间 x(时) | 人数 |
A | 0≤x<10 | a |
B | 10≤x<20 | 40 |
C | 20≤x<30 | m |
D | 30≤x<40 | n |
E | x≥40 | 16 |
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AH⊥BC于点H,过点C作CD⊥AC,连接AD,点M为AC上一点,且AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.
(1)若AB=3,AD=,求△BMC的面积;
(2)点E为AD的中点时,求证:AD=BN .
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