Question

12．如图1，正方形ABCD的边长为2，点E不在正方形的外部，AE=2，过点E作直线MN⊥AE交BC、CD分别于M、N，连接AM、AN，设BM=a．
（1）正方形ABCD的周长=8．
（2）求DN的长（用含a的式子表示）．
（3）如图2，过点M作直线l⊥BC，P是直线l上的动点，当△ANP是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的周长公式即可得到结论；
（2）如图1，BM=a，设DN=x，根据正方形的性质得到∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=2，根据全等三角形的性质得到BM=EM=a，CM=2-a，同理，DN=EN=x，CN=2-x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）当AN是斜边时，PA=PN，∠APN=90°若P在AN下方，根据全等三角形的性质得到AE=PF=2-a，FN=EP=a，推出P与M和B重合，N与C重合，△APN是等腰直角三角形，符合题意；若P在AN上方，同理得到a=-1+$\sqrt{5}$，当AP是斜边时，如图4，AN=PN，∠ANP=90°过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，当NP是斜边时，如图5，AN=AP，∠PAN=90°，过P作PE⊥直线AB于E，过N作NF⊥AB于F，则AF=DN，根据全等三角形的性质得到PE=AF，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的周长=8，
故答案为：8；

（2）如图1，BM=a，设DN=x，
在正方形ABCD中，
∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=2，
∵AE=2，AE⊥MN于E，
∴在Rt△ABM和Rt△AEM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴BM=EM=a，CM=2-a，
同理，DN=EN=x，CN=2-x，
∴MN=a+x，
在Rt△NMC中，CM²+CN²=MN²（2-a）²+（2-x）²=（a+x）²，
解得：x=$\frac{4-2a}{a+2}$，
∴DN=$\frac{4-2a}{a+2}$；

（3）当AN是斜边时，PA=PN，∠APN=90°
若P在AN下方，如图2，过P作EF⊥AB于E，交CD于F，
则∠AEP=∠PFN=90°，PF=2-a，
∵∠NPF+∠EPA=90°，∠EAP+∠EPA=90°
∴∠EAP=∠NPF，
在△AEP与△PFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠PFN=90°}\\{∠EAP=∠NPF}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△PFN，
∴AE=PF=2-a，FN=EP=a，
∵AE=FN+DN，
∴2-a=a+$\frac{4-2a}{a+2}$，解得a=0，
此时P与M和B重合，N与C重合，△APN是等腰直角三角形，符合题意；
若P在AN上方，如图3，过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，则FD=AE，
同理可得△AEP≌△PFN，AE=PF=2-a，EP=FN=FD+DN，
∴a=2-a+$\frac{4-2a}{a+2}$，解得a=-1±$\sqrt{5}$，
∵2≥a≥0，∴a=-1+$\sqrt{5}$，
当AP是斜边时，如图4，AN=PN，∠ANP=90°
过P作EF⊥直线AB于E，交直线CD于F，
同理可得△ADN≌△NFP，FP=DN，
∴2-a=$\frac{4-2a}{a+2}$，解得a₁=0，a₂=2a₁=0时N与C重合，a₂=2时N与D重合，均符合题意；
当NP是斜边时，如图5，AN=AP，∠PAN=90°，
过P作PE⊥直线AB于E，过N作NF⊥AB于F，则AF=DN，
同理可得△PEA≌△AFN，PE=AF，
∴a=$\frac{4-2a}{a+2}$，解得a=-2$±2\sqrt{2}$，
∵2≥a≥0，∴a=-2+2$\sqrt{2}$，
综上，a₁=0，a₂=-1+$\sqrt{5}$，a₃=2，a₄=-2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．