已知:Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放.点F.B(P).C在同一直线上.AB=EF=6cm.BC=FP=8cm.∠EFP=90°．如图②.△EFP从图①的位置出发.沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.EP与AB交于点G,同时.点Q从点C出发.沿CD方向匀速运动.速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD.垂足为H.交AD于点M.连接AF.PQ.当点Q停止运动时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°．如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S_{五边形AFPQM}：S_矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）如图1中，当PQ∥BD时，$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CB}$，可得$\frac{t}{6}$=$\frac{8-t}{8}$，解方程即可；
（2）如图2中，当0＜t＜6时，S_{五边形AFPQM}=S_梯形AFCD-S_△DMQ-S_△PQC，由此计算即可解决问题；
（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；
（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．利用勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题；

解答解：（1）如图1中，

当PQ∥BD时，$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CB}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{8-t}{8}$，
∴t=$\frac{24}{7}$，
∴t=$\frac{24}{7}$s时，PQ∥BD．

（2）如图2中，

当0＜t＜6时，S_{五边形AFPQM}=S_梯形AFCD-S_△DMQ-S_△PQC
=$\frac{1}{2}$（8+8-t+8）•6-$\frac{1}{2}$•（6-t）•$\frac{3}{4}$（6-t）-$\frac{1}{2}$•（8-t）•t
=$\frac{1}{8}$t²-$\frac{5}{2}$t+$\frac{117}{2}$．

（3）如图2中，假设存在，则有（$\frac{1}{8}$t²-$\frac{5}{2}$t+$\frac{117}{2}$．）：48=9：8，
解得t=2或18（舍弃），
∴t=2s时，S_{五边形AFPQM}：S_矩形ABCD=9：8．

（4）存在．
理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．

易知：AG=6-$\frac{3}{4}$t．DQ=6-t，DM=KC=$\frac{3}{4}$（6-t），PK=8-t-$\frac{3}{4}$（6-t），MK=CD=6，
∵点M在PG的垂直平分线上，
∴MG=MP，
∴AG²+AM²=PK²+MK²，
∴（6-$\frac{3}{4}$t）²+[8-$\frac{3}{4}$（6-t）]²=6²+[8-t-$\frac{3}{4}$（6-t）]²，
解得t=$\frac{32}{17}$或0（舍弃），
∴t=$\frac{32}{17}$s时，点M在线段PG的垂直平分线上

点评本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求多边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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