Question

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A₁B₁C₁，然后将△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°得到△A₁B₂C₂．
（1）在网格中画出△A₁B₁C₁和△A₁B₂C₂；
（2）计算线段AC在变换到A₁C₂的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
∴AC==2，
∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位AC扫过的面积是以3为底以2为高的平行四边形的面积；当△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°到△A₁B₂C₂时，A₁C₁所扫过的面积是以A₁为圆心以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A₁为圆心，以2为半径，圆心角为45°的扇形的面积，
∴线段AC在变换到A₁C₂的过程中扫过区域的面积=4×2+3×2+-=14+π．
分析：（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A₁B₁C₁及△A₁B₂C₂即可；
（2）根据图形平移及旋转的性质可知，将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位AC扫过的面积是以3为底以2为高的平行四边形的面积；当△A₁B₁C₁绕点A₁顺时针旋转90°到△A₁B₂C₂时，A₁C₁所扫过的面积是以A₁为圆心以以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积，根据平行四边形的面积及扇形面积公式进行解答即可．
点评：本题考查的是旋转变换及平移变换，扇形的面积公式，熟知图形旋转、平移不变性的特点是解答此题的关键．