Question

6．如图，⊙O的直径AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中点．
（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求弧BD与线段DE、BE围成的阴影面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据三角形的中位线的性质得到OD∥BC，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A=30°，根据平行线的性质得到∠C=∠ADO=30°，得到∠AOD=∠ABC=120°，求得∠BOD=60°，解直角三角形得到AD=CD=2$\sqrt{3}$，DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵AO=OB，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）∵OA=OD，∠A=30°，
∴∠ADO=∠A=30°，
∵OD∥BC，
∴∠C=∠ADO=30°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC=4，
∴∠AOD=∠ABC=120°，
∴∠BOD=60°，
∴AD=CD=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，CE=3，
∴弧BD与线段DE、BE围成的阴影面积=S_△ABC-S_△AOD-S_△CDE-S_扇形=$\frac{1}{2}×$4$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×1-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×$3-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质，扇形面积的时间，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．