Question

如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②=+；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴，
设=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴==，
==，
∴+=1，
∴=+；

（3）∵=+，
∴MN==，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a．
点评：此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用．