Question

如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3，AB=

3

．
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求BF的长．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

32+ 3 2

=2

3

，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=

1

2

BD=

3

，
又∵AB=

3

，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形；

（2）∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，
又∠EBO=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
在△BOC中∠COE=180°-30°×2-75°=45°，
所以，在△BEF和△COE中

∠EBF=∠OCE=30° BE=CO= 3 ∠BEF=∠COE=45°

，
∴△BEF≌△COE（ASA），
∴BF=CE，
又CE=BC-BE=3-

3

，
∴BF=3-

3

．