Question

(2006，宜昌)如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连结AD交⊙O于点G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连结GH交BC于点E．

(1)当A是BO的中点时，求AF的长；

(2)若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面积．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵BC=4，A是OB的中点，∴AC=3． 又∵DC为⊙O的切线， ∴∠ACD=∠ACF=90°． ∵AD⊥AF， ∴∠ADC、∠CAF都与∠DAC互余， ∴∠ADC=∠FAC， ∴△ACD∽△FCA， ∴CD∶AC=CA∶FC． 解得． ． (2)∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG=90°， ∴△AGH∽△AFD， ∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF， ∴AE=CE=HE(或AE是Rt△AGH斜边GH上的中线)． 根据垂径定理推论：GH⊥BC， ∴可知GH是⊙O的直径或GH是垂直于直径的弦． ①如图(1)，如果GH是直径，此时A、B两点重合，GH=4，而DF=10，∴△AGH与△AFD的相似比为2∶5， ∴△AGH与△AFD的面积比为4∶25． 而△AFD面积为， ∴△AGH面积为(或3.2)． ②如图(2)，如果GH不是直径，则GH⊥BC， ∴AC垂直平分GH，AG=AH，∴GH∥DF． 而∠GAH=90°，∴∠AGH=45°， ∴∠D=∠AGH=45°． 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，∴AC=DC=2，而OC=2， ∴A、O两点重合，那么AG=AH=2． ∴△AGH面积为．