Question

5．如图．边长为2$\sqrt{3}$的等边△ABC内接于圆O．D为弧BC上一点、过点B作BE⊥OD于点E，当点D从B点沿弧BC运动到点C时．点E经过的路径长为$\frac{4}{3}$π（结果保留π）．

Answer 1

分析 如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧$\widehat{BT}$，即为点E的运动轨迹．求出圆心角，半径即可解决问题．

解答 解：如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧$\widehat{BT}$，即为点E的运动轨迹．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBC=30°，
∴∠TKO=60°，
∵AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，易知OB=2，
∴KO=1，
∴点E经过的路径长为$\frac{240•π•1}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
故答案为$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查轨迹、等边三角形的性质、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．