分析 过点B作BE⊥AC于E,以B为顶点,BE为一边,在∠ABE的内部作∠EBN=60°,交AE于N.先由∠D=30°,∠AMH=75°,得出∠DCM=∠AMH-∠D=45°,∠ECB=∠DCM=45°.解Rt△BCE,得出BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$,解Rt△BNE,得出EN=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$,BN=2BE=4$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$,再证明∠A=∠ABN=15°,得出AN=BN=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$,然后在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出AB.
解答 解:过点B作BE⊥AC于E,以B为顶点,BE为一边,在∠ABE的内部作∠EBN=60°,交AE于N.
∵∠D=30°,∠AMH=75°,
∴∠DCM=∠AMH-∠D=45°,
∴∠ECB=∠DCM=45°.
在Rt△BCE中,∵∠BEC=90°,∠ECB=45°,BC=4($\sqrt{3}$-1),
∴BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$,
在Rt△BNE中,∵∠BEN=90°,∠EBN=60°,
∴∠BNE=30°,
∴EN=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$,BN=2BE=4$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$,∵∠BNE=30°,∠A=90°-∠AMH=15°,
∴∠ABN=∠BNE-∠A=15°,
∴AN=BN=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$,
在Rt△ABE中,∵∠BEA=90°,BE=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$,AE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$,
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=8(米),
答:树高为8米.
点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题.准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
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