Question

（2010•路南区三模）如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若

BD

AC

=

GE

BF

=

3

．
（1）请写出线段PG与PC所满足的关系；并加以证明．
（2）若将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图②．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．
（3）若将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请猜想（1）中的结论有没有变化？

Answer 1

分析：（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），得出两三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不过△CHG是个等腰三角形，得出顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个等腰三角形，关键是证△GFP≌△HDP，根据已知得出△HDC≌△GBC，然后得出即可．

解答：解：（1）延长GP交DC于H，
∵DC∥GF，
∴∠DHP=∠PGF，∠DPH=∠GPF，
∵DP=PF，
∴△DHP≌△PGF，
∴HD=GF，
∵四边形ABCD和四边形GFEB是菱形，
∴DC=CB，FG=GB，
∴DH=GB，
∴DC-DH=CB-GB，
∴CH=CG，
∴△CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，
即可得出CP⊥PG；
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；

（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
证明：如图②，延长GP到H，使PH=PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵

BD

AC

=

GE

BF

=

3

，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠GBF=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、F又在一条直线上，
∴∠FBC=120°，
∴∠HDC=∠CBG=60°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
即在△HDC与△GBC中，

CD=BC ∠HDC=∠CBG DH=BG

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC．

（3）将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，
（1）中的结论没有变化，PG⊥PC．

点评：此题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．