Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=

3

4

．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求线段CF长．

Answer 1

分析：（1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA的长；
（2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF-AC即可求出CF的长．

解答：解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=

1

2

AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=

3

4

，
∴OH=3，
∴半径OA=

AH2+OH2

=5；

（2）∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=

3

4

，
设CE=3k，则AE=4k，
根据勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=

8

5

，
则CE=DE=

24

5

，AE=

32

5

，
∵BF为圆O的切线，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴

AC

AF

=

AE

AB

，即

8

AF

=

32 5

10

，
解得：AF=

25

2

，
则CF=AF-AC=

9

2

．

点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．