Question

8．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．

Answer 1

分析 （1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=$\frac{1}{2}$OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式$\frac{BD}{DO}=\frac{BN}{NA}$，$\frac{DO}{BD}$=$\frac{OM}{MA}$，由三角形中位线定理得出DM=$\frac{1}{2}$AB=3，DN=$\frac{1}{2}$OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出$\frac{DF}{DE}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{3}{4}$，再由三角函数定义即可得出答案；
（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，NE=3-t，由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（3-t），求出AF=4+MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，得出G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t），求出直线AD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，把G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t）代入即可求出t的值；
②当点E越过中点之后，NE=t-3，由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（t-3），求出AF=4-MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，得出G（$\frac{3t+23}{6}$，$\frac{1}{3}$t），代入直线AD的解析式y=-$\frac{3}{4}$x+6求出t的值即可．

解答 解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=$\frac{1}{2}$OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；

（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴$\frac{BD}{DO}=\frac{BN}{NA}$，$\frac{DO}{BD}$=$\frac{OM}{MA}$，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=3，DN=$\frac{1}{2}$OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\frac{3}{4}$；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t，
由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（3-t），
∴AF=4+MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
把G（$\frac{3t+71}{12}$，$\frac{2}{3}$t）代入得：t=$\frac{75}{41}$；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3，
由△DMF∽△DNE得：MF=$\frac{3}{4}$（t-3），
∴AF=4-MF=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{25}{4}$，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（$\frac{3t+23}{6}$，$\frac{1}{3}$t），
代入直线AD的解析式y=-$\frac{3}{4}$x+6得：t=$\frac{75}{17}$；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为$\frac{75}{41}$或$\frac{75}{17}$

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大．