在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义:
若,则点与点的非常距离为;
若,则点与点的非常距离为;
例如:点(1,2),点(3,5),因为,所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点).
(1)已知点A(,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.
(2)已知C是直线上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标.
(1)①B(0,2)或(0,-2);②;
(2)①最小值,C(,);②最小值1,E(,),C(,)
【解析】
试题分析:(1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定,据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0,y).因为,所以点A与点B的“非常距离”最小值为;
(2)①设点C的坐标为(,).根据材料“若,则点P1与点P2的“非常距离”为”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为,据此可以求得点C的坐标;
②当点E在过原点且与直线垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,即E(,).解答思路同上.
(1)①∵B为y轴上的一个动点,
∴设点B的坐标为(0,y),
,
解得,y=2或y=-2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,-2);
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
(2)①如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,需要根据运算定义“若,则点P1与点P2的“非常距离”为”解答,此时|=.即AC=AD,
∵C是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点C的坐标为(,),
,
解得,
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:,
此时C(,);
②E(,)
,
解得,
则点C的坐标为(,),
最小值为1.
考点:本题考查了一次函数的应用
点评:解答本题的关键是读懂题意,正确理解题中的“非常距离”的定义。
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