Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；

（2）求点P的坐标；

（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，x＝1；（2）(1，1)；（3）(，﹣)

【解析】

（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）证明△PMC≌△BNP（AAS），则PM＝BN，MC＝PN，即可求解；

（3）设MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM＝，求出x的值；在△AOH中，OH＝，求得点H的坐标，即可求解．

（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；

函数的对称轴为：x＝1；

（2）设点C（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，点P（1，s），

如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，

∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，

∴∠MPC＝∠PBN，

∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，

∴△PMC≌△BNP（AAS），

∴PM＝BN，MC＝PN，

∴ ，解得：，

故点C（2，3），点P（1，1）；

故点P的坐标为（1，1）；

（3）设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，

由（2）知，点C（2，3），而点A（﹣1，0），

过点C作CK⊥x轴于点K，则CK＝AK＝3，

故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，

∴tan∠ABC＝＝3

∵∠QAC＝∠ABC，

∴tan∠QAC＝3；

在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH＝3x，

∵∠AGO＝45°，则GO＝AO＝1，

∴MG＝MH＝3x，

∵tan∠QAC＝3，则AM＝x，

AG＝AM+GM＝x+3x＝＝，

解得：x＝，

在△AHM中，AH＝＝x＝，

在△AOH中，OH＝＝，故点H（0，﹣），

由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣②，

联立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，

故点Q的坐标为：（，﹣）．