Question

12．如图所示，O为?ABCD对角线AC的中点，EF经过点O交AB于E，交CD于点F，连接DE、BF．求证：四边形EBFD为平行四边形．

Answer 1

分析 本题中要证明EBFD是平行四边形，已知DF∥BE，根据平行四边形的判定，我们可知只要证出DF=BE即可得出四边形EBFD是平行四边形，由于AB=DC，于是证AE=CF就是关键，那么就必须证得三角形AOE、OFC全等，这两个三角形中已知的条件有OA=OC，∠EAO=∠FOC，还有一组对顶角，因此就构成了全等三角形判定中的ASA，由此就可得出两三角形全等．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC．
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF．
∵AB=CD，
∴（AB-AE）=（CD-CF），即DF∥BE，DF=BE，
∴四边形EBFD为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定等知识点，通过全等三角形来得出四边形的对边相等是解题的关键．