Question

（2013•赣州模拟）如图1，已知二次函数y=ax²+bx+c（其中a＜0，b＞0，c＞0）的图象与y轴的交于点C，其顶点为A；直线CD∥x轴、且与抛物线的对称轴AE交于点B，交抛物线于另一点D．
（1）试用含b的代数式表示

AB

CD

的值；
（2）如图2，连接AC与AD，我们把△ACD称为抛物线的伴随三角形．
①当△ACD为直角三角形时，求出此时b值；
②若△ACD的面积记为S，当抛物线的对称轴为直线x=2时，请写出伴随三角形面积S与b的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的顶点坐标表示出线段AB和线段CD的长，然后求其比值即可；
（2）①首先判定三角形ACD是等腰直角三角形，然后表示出AB与CD的比值，从而得到有关b的等式，求解即可；
②根据表示的AB和CD的长表示出伴随三角形的面积，利用其对称轴为2表示出a、b的关系，从而表示出S．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点纵坐标为

4ac-b2

4a

，
又∵直线CD∥x轴与抛物线的对称轴AE交于点B，且a＜0，c＞0，
∴AB=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

；    
在y=ax²+bx+c中，设y=c，可得：c=ax²+bx+c，
解得x1=0，x2=-

b

a

，
∵a＜0，b＞0，
∴CD=-

b

a

-0=-

b

a

，
∴

AB

CD

=（-

b2

4a

）÷（-

b

a

）=

b

4

；  

（2）①∵直线AE是抛物线的对称轴，直线CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线AE对称，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
又∵△ACD是直角三角形，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴

AB

CD

=

1

2

，又由（1）可知

AB

CD

=

b

4

，
∴

b

4

=

1

2

，
∴当b=2时，
△ACD是直角三角形；
②∵AB=-

b2

4a

，CD=-

b

a

，
∴伴随△ACD的面积S=

1

2

×AB×CD，
∴S=

1

2

×（-

b2

4a

）×（-

b

a

）=

b3

8a3

，
又抛物线的对称轴为直线x=2，
∴-

b

2a

=2
∴a=-

b

4

，
∴S=

b3

8×(- b 4 )2

=2b（b＞0）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是第二题中提到的伴随三角形是一个全新的概念，考查了同学们的理解与加工新知识的能力．