Question

已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，DE=DF．
求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析：求出△BDE和△CDF都是直角三角形．根据HL证△BDE≌△CDF，推出∠B=∠C，推出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一推出即可．

解答：证明：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）．
∴AB=AC （等角对等边）．
∵AB=AC，点 D是BC的中点，
∴AD⊥BC （等腰三角形的三线合一）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC=AB．