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20.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形AOB的直角顶点A在第四象限,顶点B(0,-2),点C(0,1),点D在边AB上,连接CD交OA于点E,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点D,若△ADE和△OCE的面积相等,则k的值为-$\frac{8}{9}$.

分析 先过点D作DF⊥OB于F,构造等腰直角三角形BDF,再根据△ADE和△OCE的面积相等,得出△BCD和△AOB的面积相等,最后根据△BCD的面积求得点D的坐标,即可得出k的值.

解答 解:如图,过点D作DF⊥OB于F,
∵等腰直角三角形AOB的顶点B(0,-2),点C(0,1),
∴OB=2,AO=AB=$\sqrt{2}$,BC=3,DF=BF,
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1,
又∵△ADE和△OCE的面积相等,
∴△BCD和△AOB的面积相等,
∴△BCD的面积为1,
即$\frac{1}{2}$×BC×DF=1,
∴$\frac{1}{2}$×3×DF=1,
解得DF=$\frac{2}{3}$
∴BF=$\frac{2}{3}$,
∴OF=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$,
∴D($\frac{2}{3}$,-$\frac{4}{3}$),
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点D,
∴k=$\frac{2}{3}$×(-$\frac{4}{3}$)=-$\frac{8}{9}$.
故答案为:-$\frac{8}{9}$

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解决问题的关键是运用数形结合思想,将点D的坐标与比例系数k联系起来.

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