Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，当m＝2时，PN的最大值为．

【解析】

（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；

（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，利用方程或方程组求解即可得到答案；

（3）利用等腰直角三角形的性质得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．

解：（1） 抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，

设

即：﹣12a＝4，解得：

则抛物线的表达式为

（2）存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），

则AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，

同理可得直线AC的表达式为：，

①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，

设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，

由勾股定理得：

解得：n＝3或4（舍去4），

故点Q（1，3）；

②当AC＝CQ时，如图1，

CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝

则QM＝MB＝，

故点Q（，）；

③当CQ＝AQ时，则在的垂直平分线上，

设直线AC的中点为K（，2），

过点 与CA垂直直线的表达式中的k值为，

直线的表达式为： ②，

联立①②并解得：（舍去）；

故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；

（3）设点，则点Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN＝

∵

∴PN有最大值，

当m＝2时，PN的最大值为：．