Question

若k为自然数，且关于x的一元二次方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值和方程的根．

Answer 1

分析：首先根据已知条件可得k²-1≠0，进而得到k≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得k≠3；再利用求根公式用含k的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论k的值即可．

解答：解：∵k²-1≠0，
∴k≠±1．
∵△=36（3k-1）²-4（k²-1）×72＞0，
∴k≠3，
用求根公式可得：x₁=

6

k-1

，x₂=

12

k+1

，
∵x₁，x₂是正整数，
∴k-1=1，2，3，6，k+1=1，2，3，4，6，12，
解得k=2．
这时x₁=6，x₂=4．

点评：此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．