Question

如图，△ABC中，AB=4，AC=3，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且四边形ADEF是菱形，连接BF交DE于点G，则EG的长为

36

49

．

Answer 1

分析：根据菱形的性质及相似三角形的判定方法可得到，与△BDE相似的三角形有△BAC；设菱形ADEF的边长为x，已证△BDE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得菱形的边长；根据相似三角形的判定证明△BGE∽△BFC，再根据三角形的对应边对应成比例即可求得EG的长．

解答：解：∵四边形ADEF是菱形，
∴DE∥AF．
∴∠BDE=∠A．
∵∠ABC=∠DBE．
∴△BDE∽△BAC．
∴

DE

CA

=

BD

AB

，
设菱形ADEF的边长为x，则有

x

3

=

4-x

4

，
解之得，x=

12

7

．
∴菱形边长为

12

7

．
∵四边形ADEF是菱形．
∴AC∥DE．
∴∠BGE=∠BFC．
∵∠GBE=∠FBC．
∴△BGE∽△BFC．

EG

CF

=

BE

BC

，
同理可得：

BD

BA

=

BE

BC

，
∴

EG

CF

=

BD

BA

∴

EG

3- 12 7

=

4- 12 7

4

，
∴EG=

36

49

，
故答案为：

36

49

．

点评：此题综合考查相似三角形的判定及性质和菱形性质的运用．