Question

3．已知直线y=2x+b交x轴于点B，交y轴于点C，点A为x轴的正半轴的一点，AO=CO，△ABC的面积为12，点Q为线段AB上一个动点，QE∥AC，交BC于点E，以QE为边，在点B的异侧作正方形QEFG．设AQ=M，△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S，求S与M之间的函数关系式并写出M的取值范围．

Answer 1

分析 根据△ABC的面积是12，即可得到一个关于b的方程，解方程求得b的值，从而求得直线的解析式，进而求得B的坐标，求得AB=6，在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的长度，然后根据平行线分线段成比例定理利用m表示出EQ的长度，然后分0＜m≤$\frac{24}{7}$和$\frac{24}{7}$＜m＜6两种情况求得．

解答 解：由题意得：B（-$\frac{b}{2}$，0），C（0，b），
∴OB=$\frac{b}{2}$，OC=b
∵AO=CO，
∴A（b，0）．
∴OA=b，AB=b+$\frac{b}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=12
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$b•b=12
解得：b₁=4，b₂=-4（舍去）
∴b=4
∴直线为y=2x+4，
∴B（-2，0），
设正方形QEFG与AC相交于点M．
∵A（4，0）
∴AB=6
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵EQ∥AC
∴$\frac{EQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴EQ=$\frac{BQ•AC}{BA}$=$\frac{4\sqrt{2}（6-m）}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}（6-m）}{3}$．
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°
∴△QMA为等腰直角三角形
∴QM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
当QM=QG时，正方形QEFG的边FG恰好与AC共线．
此时$\frac{2\sqrt{2}（6-m）}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，
解得：m=$\frac{24}{7}$，当0＜m≤$\frac{24}{7}$时，S=QE•QM=$\frac{2\sqrt{2}（6-m）}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$m=-$\frac{2}{3}$m²+4m．
当$\frac{24}{7}$＜m＜6时，S=QE²=[$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（6-m）】²=$\frac{8}{9}$（m-6）²．
∴S与m之间的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{2}{3}m}^{2}+4m（0＜m≤\frac{24}{7}）}\\{\frac{8}{9}（m-6）^{2}（\frac{24}{7}＜m＜6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数与直角三角形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，正确分类讨论是关键．