Question

已知，在平面直角坐标系中，反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与一次函数y=x+b的图象交于A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x²+b′x+c（c＞0）的顶点P在直线AB上，且PA：PB=1：3，求抛物线的解析式；
（3）把以上函数图象同步向右平移，使直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式即可；
（2）根据P点在线段AB上时，作PE∥BC，交AC于E，作PD∥AC交BC于D或当P点在线段BA的延长线上时，利用平行线的性质分别求出即可；
（3）首先求出直线解析式，进而得出抛物线解析式即可．

解答：解：（1）把A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点代入y=

k

x

，得：

b-1=-k b-5=- k 5

，
解得：

k=-5 b=6

，
∴正比例函数解析式为：y=x+6，
反比例函数反比例函数解析式为：y=-

5

x

；

（2）∵直线AB为y=x+6，且A（-1，5），B（-5，1），
过点A，B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C（-1，1），
则AC=BC=4，
①P点在线段AB上时，作PE∥BC，交AC于E，作PD∥AC交BC于D，
则

PE

BC

=

PA

AB

，

PD

AC

=

PB

AB

，
∵

PA

PB

=

1

3

，
∴

PA

AB

=

1

4

，

PB

AB

=

3

4

，
∴PE=1，PD=3，
∴P（-2，4），
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） ²+4，
即y=-x ²-4x，
此时，c=0，不符合题意，舍去；
②当P点在线段BA的延长线上时，同理可得：P（1，7）
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） ²+7，
即y=-x ²+2x+6，
此时，c=6＞0，符合题意，
∴由①、②可知，抛物线的解析式为：y=-x ²+2x+6；

（3）设平移后的直线解析式为：y=x+t，
它交x轴于点（-t，0），交y轴于点（0，t），
∴S_△=

1

2

×|-t|×|t|=2，
∴t=±2，
∴平移后的直线解析式为：y=x+2或y=x-2，
即图象向右平移了4个单位或8个单位，
此时的抛物线解析式为：y=-（x-1-4）²+7或y=-（x-1-8）²+7，
即y=-x ²+10x-18或y=-x ²+18x-74．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及二次函数解析式的求法和平行线分线段成比例定理等知识，正确得出直线AB解析式是解题关键．