Question

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．

  （1）求证：BE是⊙O的切线；

  （2）求证：；

  （3）若过点D作DG//BE交EF于G，过G作GH//DE交DF于H，则易知△DHG是等边三角形．设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为、、，试探究、、之间的数量关系，并说明理由．

 

Answer 1

1）证明：连结OB，

　　　　　 ∵△ABC和△BDE都是等边三角形

　　　　　 ∴∠ABC=∠EBD=60°

　　　　　 ∴∠CBE=60°，∠OBC=30°

　　　　　 ∴∠OBE=90°

∴BE是⊙O的切线

（2）证明：连结MB,则∠CMB=180°-∠A=120°

　　　　　　　 ∵∠CBF=60°+60°=120°

　　　　　　　 ∴∠CMB=∠CBF

∵∠BCM=∠FCB

∴△CMB≌△CBF

∴即

∵AC=CB

∴

　 　（3）解：作DG//BE，GH//DE

　　　　　　　 ∵AC∥BE∥DG

　　　　　　　 ∴

∵BC∥DE∥HG

　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 ∴　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 ∵,

　　　　　　　 ∴即