Question

在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
【感知】
如图①，当点H与点C重合时，可得FG=FD．
【探究】
如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
【应用】
在图②中，当DF=3，CE=5时，直接利用探究的结论，求AB的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：[探究]连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
[应用]设AB=x，则BE=EG=x-5，FE=x-2，FC=x-3，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．

解答：解：猜想FD=FG．
证明：连接AF，
由折叠的性质可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，

AG=AD AF=AF

，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
故可得FG=FD．
[应用]设AB=x，则BE=EG=x-5，FE=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（x-2）²=（x-3）²+5²，
解得x=15．
即AB的长为15．

点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，掌握△AGF≌△ADF始终不变是解答本题的关键，另外在进行结论的应用时，得出Rt△EFC的各边后运用勾股定理进行求解时，要细心避免出错．