Question

【题目】如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=5时，请直接写出点D，点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：

则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，

∴BD= =10，

当t=5时，OD=5，

∴BO=15，

∵AD∥NO，

∴△ABD∽△NBO，

∴ ，

即 ，

∴BN=9，NO=12，

∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，

∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）

（2）解：如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，

∴S= BPAD= （6﹣t）×8=﹣4t+24；

②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，

∴S= BPAB= （t﹣6）×6=3t﹣18；

综上所述：S=

（3）解：设点D（﹣ t， t）；

①当点P在边AB上时，P（﹣ t﹣8， t），

若 时， ，

解得：t=6；

若 时， ，

解得：t=20（不合题意，舍去）；

②当点P在边BC上时，P（﹣14+ t， t+6），

若 时， ，

解得：t=6；

若 时， ，

解得：t （不合题意，舍去）；

综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．

【解析】（1） 运用三角形相似对应边成比例可解决；（2）分两种情况：点P在边AB上或点P在边BC上讨论；（3）分两种情况讨论：点P在边AB上或点P在边BC上，由三角形相似性质得出对应边乘比例构建关于t 的方程，解方程即可.
【考点精析】认真审题，首先需要了解坐标与图形变化-平移(新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；连接各组对应点的线段平行且相等)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．