Question

如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠D=30°．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，求⊙O的半径和线段AD的长．

Answer 1

（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：
连接OA，
∵弧AC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O半径，
∴AD是⊙O切线，
即直线AD与⊙O的位置关系是相切；

（2）解：∵由（1）知：∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OAD中，tan60°==，
∴AD=6，
答：⊙O半径是6，AD长是6．
分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠O的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD，根据切线的判定推出即可；
（2）得出等边三角形AOC，求出OA，根据锐角三角函数的定义得出tanO=，代入求出即可．
点评：本题考查的知识点是切线的性质和判定，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，圆周角定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．