Question

【题目】已知：如图，点A，B，C三点在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC，连结BE．

(1)求证：直线l是⊙O的切线；

(2)如果DE＝a，AE＝b，写出求BE的长的思路．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)作辅助线，连接半径，由角平分线得：∠BAE＝∠CAE，圆周角相等，则弧相等，再由垂径定理证明OE⊥BC，所以OE⊥l，直线l与⊙O相切；

(2)根据∠BAE＝∠CAE、∠CAE＝∠CBE结合公共角证△ABE∽△BDE可得，从而得出答案．

解： (1)如图，连接OE、OB、OC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∴，

∴∠BOE＝∠COE，

∵OB＝OC，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

∴直线l是⊙O的切线；

(2)∵∠BAE＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，

∴∠BAE＝∠DBE，

又∵∠AEB＝∠BED，

∴△ABE∽△BDE，

∴，

∴BE2＝AEDE＝ab．