【题目】已知:如图,点A,B,C三点在⊙O上,AE平分∠BAC,交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC,连结BE.
(1)求证:直线l是⊙O的切线;
(2)如果DE=a,AE=b,写出求BE的长的思路.
【答案】(1)证明见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)作辅助线,连接半径,由角平分线得:∠BAE=∠CAE,圆周角相等,则弧相等,再由垂径定理证明OE⊥BC,所以OE⊥l,直线l与⊙O相切;
(2)根据∠BAE=∠CAE、∠CAE=∠CBE结合公共角证△ABE∽△BDE可得,从而得出答案.
解: (1)如图,连接OE、OB、OC,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
∴,
∴∠BOE=∠COE,
∵OB=OC,
∴OE⊥BC,
∵l∥BC,
∴OE⊥l,
∴直线l是⊙O的切线;
(2)∵∠BAE=∠CAE,∠CAE=∠CBE,
∴∠BAE=∠DBE,
又∵∠AEB=∠BED,
∴△ABE∽△BDE,
∴,
∴BE2=AEDE=ab.
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【题目】我们给出如下定义:两个图形和,在上的任意一点引出两条垂直的射线与相交于点、,如果,我们就称、为点的垂等点,、为点的垂等线段,点为垂等射点.
(1)如图1,在平面直角坐标系中,点为轴上的垂等射点,过作轴的平行线,则直线上的为点的垂等点的是_______;
(2)如果一次函数图象过,点为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点也在此一次函数图象上,在图2中画出示意图并写出一次函数表达式;
(3)如图3,以点为圆心,1为半径作,垂等射点在上,垂等点在经过(3,0),(0,3)的直线上,如果关于点的垂等线段始终存在,求垂等线段长的取值范围(画出图形直接写出答案即可).
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【题目】随着移动终端设备的升级换代,手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中学生在假期使用手机的情况(选择:A.和同学亲友聊天;B.学习;C.购物;D.游戏;E.其他),端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查,得到如下图表(部分信息未给出):
根据以上信息解答下列问题:
⑴ 这次被调查的学生有多少人?
⑵ 表中m的值为 ,并补全条形统计图;
⑶若该中学约有800名学生,估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人?并根据以上调查结果,就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议.
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【题目】正方形 A BCD 中,对角线 A C、BD 相交于点 O,DE 平分∠A DO 交 AC 于点 E ,把 A DE 沿AD 翻折,得到A DE’,点 F 是 DE 的中点,连接 A F、BF、E’F,若 AE=.
下列结论 :①AD 垂直平分 EE’,② tan∠ADE =-1,
③ CA DE - CODE =2-1, ④ S四边形AEFE=
其中结论正确的个数是 ( ) .
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
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【题目】2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会,北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会,又举办冬季奥运会的城市,某校开设了冰球选修课,12名同学被分成甲、乙两组进行训练,他们的身高(单位:cm)如表所示:
队员1 | 队员1 | 队员1 | 队员1 | 队员1 | 队员1 | |
甲组 | 176 | 177 | 175 | 176 | 177 | 175 |
乙组 | 178 | 175 | 170 | 174 | 183 | 176 |
设两队队员身高的平均数依次为,,方差依次为,,下列关系中正确的是( )
A.,B.,
C.,D.,
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【题目】在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.
(1)如果点D在线段BC上运动,如图1:
①依题意补全图1;
②求证:∠BAD=∠EDC;
③通过观察、实验,小明得出结论:在点D运动的过程中,总有∠DCE=135°,.
小明与同学讨论后,形成了证明这个结论的几种想法:
想法一:在AB上取一点F,使得BF=BD,要证∠DCE=135°,只需证△ADF≌△DEC.
想法二:以点D为圆心,DC为半径画弧交AC于点F,要证∠DCE=135°,只需证△AFD≌△DCE.
想法三:过点E作BC所在直线的垂直线段EF,要证∠DCE=135°,只需证EF=CF.
请你参考上面的想法,证明∠DCE=135°
(2)如果点D在线段CB的延长线上运动,利用图2画图分析,∠DCE的度数还是确定的值吗?如果是,直接写出∠DCE的度数;如果不是,说明理由.
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【题目】某工厂的甲、乙两个车间各生产了400个新款产品,为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围在165≤x<180为合格),分别从甲、乙两个车间生产的产品中随机各抽取了20个样品迸行检测,获得了它们的数据(尺寸),并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.甲车间产品尺寸的扇形统计图如下(数据分为6组:165≤x<170,170≤x<175,
175≤x<180,180≤x<185,185≤x<190,190≤x≤195):
b.甲车间生产的产品尺寸在175≤x<180这一组的是:
175 176 176 177 177 178 178 179 179
c.甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下:
车间 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲车间 | 178 | m | 183 |
乙车间 | 177 | 182 | 184 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中m的值为 ;
(2)此次检测中,甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是 (填“甲”或“乙”),理由是 ;
(3)如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测,那么估计甲车间生产该款新产品中合格产品有 个.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,CE垂直对角线AC于点C,AB的延长线交CE于点E.
(1)求证:CD=BE;
(2)如果∠E=60°,CE=m,请写出求菱形ABCD面积的思路.
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