Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是BC上一动点，以O为圆心，OB为半径作圆．
（1）如图①若点O是BC的中点，⊙O与AC相交于点D，E为AB的中点，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．
（2）在（1）的条件下，将Rt△ABC沿BC所在的直线向右平移，使点B与圆心O重合，如图②，若⊙O与AC相切于点D，求AD：CD的值．

Answer 1

解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
如图①，连接OD、BD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°．
在Rt△ABD中，E为AB中点，
∴DE=BE=AB，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切； 

（2）如图（2），连接OD，
∵AC切⊙O于点D，
∴BD⊥AC，
在Rt△BCD中，BC=2BD，
∵sinC==，
∴∠C=30°，
∵∠A+∠C=∠A+∠1=90°，
∴∠1=30°．
令AD=a，在Rt△ABD中，AB=2AD=2a，
同理得AC=2AB=4a，
∴CD=AC-AD=3a，
∴AD：CD=1：3．
分析：（1）连接OD、BD，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，则E为Rt△ABD的斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=BE=AB，则∠EBD=∠EDB，由于∠EBD+∠OBD=90°，所以∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，根据切线的判定方法得到DE与⊙O相切； 
（2）根据切线的性质由AC切⊙O于点D得BD⊥AC，根据题意得到BC=2BD，利用sinC==，可得到∠C=30°，则∠1=30°，令AD=a，在Rt△ABD中，AB=2AD=2a，同理得AC=2AB=4a，则CD=3a，所以AD：CD=1：3．
点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系．