Question

17．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G．
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）求证：DG=BE；
（3）若点E是劣弧AB的中点，求tan∠ABE的值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，想办法证明∠EBF=∠BED=∠BFD=90°，即可解决问题．
（2）连接OA．只要证明△DGF是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）连接OE交AB于H，设正方形ABCD的边长为2a．在Rt△AHO中，由AH=OH=a，推出OA=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，EH=OE-OH=$\sqrt{2}$a-a，根据tan∠ABE=$\frac{EH}{BH}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴BD是直径，
∴∠BED=∠BFD=90°，
∵DF∥BE，
∴∠DFB+∠EBF=180°，
∴∠EBF=∠BED=∠BFD=90°，
∴四边形EBFD是矩形．

（2）解：连接OA．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DFA=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵四边形EBFD是矩形，
∴∠GDF=90°，BE=DF，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
∴DG=BE．

（3）解：连接OE交AB于H，设正方形ABCD的边长为2a．
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠AOE=∠BOE=45°，OE⊥AB，
在Rt△AHO中，∵AH=OH=a，
∴OA=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，
∴EH=OE-OH=$\sqrt{2}$a-a，
∴tan∠ABE=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{a}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．