Question

如图所示，在△ABC中，AC与⊙O相切于点A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（1）∠C=

45

°；
（2）BD=

2

；
（3）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）根据切线性质求出∠A，根据等腰三角形性质得出∠C=∠B，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据切割线定理得出AC²=CD×BC，代入求出即可；
（3）求出BD=CD，根据三角形的中位线定理求出OD∥AC，求出∠BOD=∠DOA=90°，分别求出扇形BOD和扇形ODA，梯形DOAC，三角形ODB的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：（1）∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠CAB=90°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B=

1

2

（180°-∠CAB）=45°，
故答案为：45．

（2）在Rt△ABC中，AC=AB=2，由勾股定理得：BC=

22+22

=2

2

，
由切割线定理得：AC²=CD×BC，
即2²=（2

2

-BD）×2

2

，
解得BD=

2

．
故答案为：

2

．

（3）连接OD．则OD=OB=OA=

1

2

AB=1，
∵BC=2

2

，BD=

2

，
∴CD=BD=

2

，
∵OB=OA，
∴OD∥AC，
∴∠BOD=∠A=90°=∠AOD，
∴阴影部分的面积是S_扇形BOD-S_△BOD+S_梯形DOAC-S_扇形DOA
=

90π×12

360

-

1

2

×1×1+

1

2

×（1+2）×1-

90π×12

360

=1．

点评：本题考查了三角形、扇形、梯形的面积，等腰三角形性质，勾股定理，切割线定理，三角形的中位线等知识点，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．