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已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点,N为AB边上一点,且AN=3NB,连AM、MN分别交BD于E、F(如图①).
(1)在图②中画出满足上述条件的图形,试用刻度尺在图①、②中量得DE、EF、FB的长度,并填入下表.
DE的长度EF的长度FB的长度
图①中
图②中
由上表可猜想DE、EF、FB间的大小关系是DE=EF=FB.
(2)上述(1)中的猜想DE、EF、FB间的关系成立吗?为什么?
(3)若将平行四边形ABCD改成梯形(其中AB∥CD),且AB=2CD,其它条件不变,此时(1)中猜想DE、EF、FB的关系是否成立?若成立,说明理由;若不成立,求出DE:EF:FB的值.

解:(1)画图
填表每空0.5分,
猜想:DE=EF=FB

(2)成立,
理由:∵AB∥CD,
∴△ABE∽△MDE,
∴BE:DE=AB:DM=2:1,
即BE=2DE,
∴BD=3DE,
又∵AN=3NB,
∴AB=DC=4NB,
∴DM=2NB,
∵AB∥DC,
∴△DMF∽△BNF,
∴DF:FB=DM:NB=2:1,
即DF=2FB,
∴BD=3BF,
∴DE=EF=FB.

(3)不成立;
∵AB=2CD,CD=2DM,
∴AB=4DM.
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△MDE,
∴BE:DE=AB:DM=4:1,
即BE=4DE,
∵AB=4NB,
∴NB=DM.
∵AB∥CD,
∴∠MDF=∠NBF,
∴∠DMF=∠BNF,
∴△BNF≌△DMF,
∴DF=FB,
∴DE=BD,EF=DF-DE=BD,BF=BD,
∴DE:EF:FB==2:3:5.
分析:(1)画图,量长度.(2)先证明△ABE∽△MED,△DMF∽△BNF,得出结论.(3)不成立,证明△ABE∽△MDE,△BNF∽△DMF,利用相似比得出DE:EF:FB=2:3:5.
点评:本题综合考查了平行四边形、梯形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质,判定相似三角形并会根据相似三角形的性质求出比值.
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