Question

已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点，N为AB边上一点，且AN=3NB，连AM、MN分别交BD于E、F（如图①）．
（1）在图②中画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图①、②中量得DE、EF、FB的长度，并填入下表．

	DE的长度	EF的长度	FB的长度
图①中
图②中

由上表可猜想DE、EF、FB间的大小关系是DE=EF=FB．
（2）上述（1）中的猜想DE、EF、FB间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改成梯形（其中AB∥CD），且AB=2CD，其它条件不变，此时（1）中猜想DE、EF、FB的关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，求出DE：EF：FB的值．

Answer 1

解：（1）画图
填表每空0.5分，
猜想：DE=EF=FB

（2）成立，
理由：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=2：1，
即BE=2DE，
∴BD=3DE，
又∵AN=3NB，
∴AB=DC=4NB，
∴DM=2NB，
∵AB∥DC，
∴△DMF∽△BNF，
∴DF：FB=DM：NB=2：1，
即DF=2FB，
∴BD=3BF，
∴DE=EF=FB．

（3）不成立；
∵AB=2CD，CD=2DM，
∴AB=4DM．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=4：1，
即BE=4DE，
∵AB=4NB，
∴NB=DM．
∵AB∥CD，
∴∠MDF=∠NBF，
∴∠DMF=∠BNF，
∴△BNF≌△DMF，
∴DF=FB，
∴DE=BD，EF=DF-DE=BD，BF=BD，
∴DE：EF：FB=：：=2：3：5．
分析：（1）画图，量长度．（2）先证明△ABE∽△MED，△DMF∽△BNF，得出结论．（3）不成立，证明△ABE∽△MDE，△BNF∽△DMF，利用相似比得出DE：EF：FB=2：3：5．
点评：本题综合考查了平行四边形、梯形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质，判定相似三角形并会根据相似三角形的性质求出比值．