Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.

（1）当直线l与直线y=x+平行时，求出直线l的解析式；

（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；

（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.

Answer 1

【答案】（1）y＝x；（2）①AC＝2；②α＝30°；（3）α＝15°或60°或105°或150°

【解析】

（1）设直线l的解析式为y＝x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；

（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；

（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.

解：（1）当直线l与直线y＝x＋平行时，设直线l的解析式为y＝x＋b，

∵直线l经过点C（1，0），

∴0＝＋b，

∴b＝，

∴直线l的解析式为y＝x；

（2）①对于直线y＝x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝1，

∴A（0，），B（1，0），

∵C（1，0），

∴AC＝，

②如图1中，作CE∥OA，

∴∠ACE＝∠OAC，

∵tan∠OAC＝，

∴∠OAC＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∴α＝30°；

（3）①如图2中，当α＝15°时，

∵CE∥OD，

∴∠ODC＝15°，

∵∠OAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝15°，

∴AD＝AC＝AB，

∴△ADB，△ADC是等腰三角形，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴△DBC是等腰三角形；

②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，

∴DA＝DC＝DB，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；

③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；

④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，

∴AB＝BD＝DC＝AC，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，

综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．