Question

12．如图①，已知二次函数y=ax²+bx-3的图象对应的抛物线与x轴交于A（-6，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若M是x轴上的动点，点N在抛物线上，当四边形MNCB是平行四边形时，求M坐标；
（3）如图②，若点P是x轴上的动点，PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连结QC，当QC与以OP为直径的圆相切时．求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行四边的对边平行且相等，可得N点坐标，可得BM的长；
（3）根据切线的性质，得出CQ=PQ+OC，根据解方程，可得a的值，可得答案．

解答 解：（1）将A、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b-3=0}\\{4a+2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
二次函数的表达式y=$\frac{1}{4}$x²+x-3；
（2）如图1，
由MNCB是平行四边形，得
NC∥MB，NC=MB．
当y=-3时，$\frac{1}{4}$x²+x-3=-3，解得x=-4，x=0（不符合题意，舍），即N点（-4，-3），
MB=NC=4．
2-4=-2，
即M（-2，0）；
（3）如图2，
设P（2a，0），Q点的横坐标为2a，
当x=2a时，y=a²+2a-3，即Q（2a，a²+2a-3）．
由PQ与以OP为直径的圆相切，BC与以OP为直径的圆相切，QC与以OP为直径的圆相切，得
CQ=PQ+OC，即
（6-a²-2a）=$\sqrt{（2a）^{2}+（{a}^{2}+2a-3+3）^{2}}$，
方程化简，得
4a²+6a-9=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$±$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
2a=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，2a=-$\frac{3}{2}$-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
即P（-$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0），（-$\frac{3}{2}$-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边的对边平行且相等得出N点坐标是解题关键；利用切线的性质得出关于a的方程是解题关键．