如图，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．分析 （1）利用三角形面积求法S△AP′E=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE，分别得出答案；
（2）利用当0≤x≤4时，当4＜x≤10时，当10＜x≤12时，分别得出y与x的函数关系式即可；
（3）利用（2）中所求，利用y=9，求出x的值即可；
（4）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，进而利用相似三角形的性质求出答案．
解答 
解：（1）如图1，∵长方形ABCD中，BC=AD=6，
∴当x=2时，则AP=2，故y=S△APE=$\frac{1}{2}$×2×6=6；
∵长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∴当x=5时，则BP′=1，
故y=S△AP′E=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE
=$\frac{1}{2}$（AB+EC）×BC-$\frac{1}{2}$×AB×BP′-$\frac{1}{2}$P′C×EC
=$\frac{1}{2}$（4+2）×6-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×5×2
=11；
（2）当0≤x≤4时，y=$\frac{1}{2}$x×6=3x；
当4＜x≤10时，P在BC上，
y=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE
=18-$\frac{1}{2}$×4×（x-4）-$\frac{1}{2}$（10-x）×2
=16-x；
当10＜x≤12时，P在EC上，
y=$\frac{1}{2}$×6×（12-x）=36-3x
综上所述：$y=\left\{\begin{array}{l}3x，0≤x≤4\\ 16-x，4＜x≤10\\ 36-3x，10＜x≤12\end{array}\right.$；
（3）当y=9时，9=3x，解得：x=3，
9=16-x，解得：x=7，
9=36-3x，解得：x=9（不合题意舍去）
综上所述：x的值3，7；
（4）存在，
理由：如图2，延长DC，作E点的对称点E′，连接AE′，交BC于点P，
此时△APE的周长最小，
∵AB∥EC，
∴△ABP∽△E′CP，
∴$\frac{AB}{E′C}$=$\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{4}{2}$=$\frac{BP}{6-BP}$，
解得：BP=4，
则PC=2，
∴PC=CE′=2，
∴∠AE′D=45°，
∴∠PAD的度数为45°．
点评 此题主要考查了四边形综合以及相似三角形的判定与性质和三角形面积求法等知识，利用分段求出y与x的函数关系式是解题关键．
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
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某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，建立如图所示的直角坐标系．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$．查看答案和解析>>
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