Question

【题目】如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．

（1）求证：BI＝BD；

（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是3+

【解析】

（1）利用三角形内心的性质及外角的性质可得∠BID＝∠BDI，从而可证BI＝BD；

（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，解方程可得结论．

（1）证明：如图，连接DI，

∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，

∴，

∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，

∵点F是的中点，

∴∠ACF＝∠DCF，

∴I是△ADC的内心，

∴∠ADI＝∠CDI，

∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，

∴∠BID＝∠BDI，

∴BI＝BD；

（2）连接OD，

设⊙O的半径为r，

∵OI＝1，OE＝2，

∴BE＝r﹣2，BD＝BI＝r+1，

由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，

r2﹣6r﹣1＝0，

r1＝3+，r2＝3-（舍），

答：⊙O的半径是3+．