Question

如图，△ABC三个顶点都在⊙O上，CN为⊙O直径，CM⊥AB，F为

AB

的中点，求证：CF平分∠NCM．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：延长CM交⊙O于E，连接EB、EN．先由CN为⊙O直径，根据圆周角定理得出∠NEC=90°，由∠BMC=90°，可得EN∥AB，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠ACE=∠BCN，再由F为

AB

的中点，根据圆周角定理得出∠BCF=∠ACF，然后利用等式的性质即可证明∠FCN=∠FCE，即CF平分∠NCM．

解答：证明：延长CM交⊙O于E，连接EB、EN．
∵CN为⊙O直径，
∴∠NEC=90°，
∵CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∴EN∥AB，
∴∠NEB=∠ABE，
∵∠ACE=∠ABE，∠NEB=∠BCN，
∴∠ACE=∠BCN，
∵F为

AB

的中点，
∴∠BCF=∠ACF，
∴∠BCF-∠BCN=∠ACF-∠ACE，
∴∠FCN=∠FCE，
故CF平分∠NCM．

点评：本题考查了圆周角定理及其推论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．准确作出辅助线是解题的关键．