Question

5．为落实中央提出绿色发展的理念，某环保部门对A、B、C三个企业的污水进行集中处理，计划在道路AB上建立一个污水处理站D，使得到这三个企业铺设的污水管道总长度最短．已知∠ABC=45°，∠ACB=75°，AC=20千米，在图中画出污水处理站D的位置，并求所铺设的管道总长度（结果保留根号）．

Answer 1

分析 直接利用垂线段的定义得出D点位置进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：如图所示：当CD⊥AB时，此时C到AB的距离最短，
故此时D点到这三个企业铺设的污水管道总长度最短，
∵∠ABC=45°，∠ACB=75°，AC=20千米，
∴∠BCD=45°，∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=10km，故DC=BD=10$\sqrt{3}$km，
故所铺设的管道总长度为：2×10$\sqrt{3}$+10=10（2$\sqrt{3}$+1）（km）．

点评 此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确得出D点位置是解题关键．