Question

16．如图，若直线y=x被双曲线y=$\frac{{k}^{2}}{x}$与双曲线y=$\frac{2{k}^{2}}{x}$在第一象限截得的线段长为2-$\sqrt{2}$．
（1）求k的值；
（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S_△ABP=2？若存在，求出P的值；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，设A点的横坐标为m，B点的横坐标为n，根据题意得出OA=$\sqrt{2}$m，OB=$\sqrt{2}$n，由截得的线段长为2-$\sqrt{2}$，得出$\sqrt{2}$n-$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$，从而求得n-m=$\sqrt{2}$-1，根据m=$\frac{{k}^{2}}{m}$，n=$\frac{2{k}^{2}}{n}$，得出m=k，n=$\sqrt{2}$k，得出$\sqrt{2}$k-k=$\sqrt{2}$-1，解得k=1；
（2）作AD⊥OB，交坐标轴于D，设PE是△PAB边AB上的高，先求得A的坐标，进而求得OA=AD=$\sqrt{2}$，从而求得OD=2，根据三角形的面积求得PE=4+2$\sqrt{2}$，
然后根据AD∥PE，得出$\frac{AD}{PE}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{2}{OP}$，即可求得P的坐标．

解答 解：（1）如图1，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，设A点的横坐标为m，B点的横坐标为n，
∵A、B是直线y=x上的点，
∴OA=$\sqrt{2}$m，OB=$\sqrt{2}$n，
∵OB-OA=2-$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$n-$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$（n-m）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴n-m=$\sqrt{2}$-1，
∵m=$\frac{{k}^{2}}{m}$，n=$\frac{2{k}^{2}}{n}$，
∴m=k，n=$\sqrt{2}$k，
∴$\sqrt{2}$k-k=$\sqrt{2}$-1，解得k=1；
（2）存在；
理由：如图2，作AD⊥OB，交坐标轴于D，设PE是△PAB边AB上的高，
由直线y=x可知OA=AD，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴AD=OA=$\sqrt{2}$
∴OD=2，
∵S_△ABP=2，AB=2-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE=2，即（2-$\sqrt{2}$）•PE=4，
解得PE=4+2$\sqrt{2}$，
∵AD⊥OB，PE⊥OB，
AD∥PE
∴$\frac{AD}{PE}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{2}{OP}$，
解得OP=4$\sqrt{2}$+4．
∴P（4$\sqrt{2}$+4，0）或（0，4$\sqrt{2}$+4）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，交点坐标以及三角形面积等，借助等腰直角三角形解题是关键．