Question

【题目】如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

③AC平分∠OAB→CE＝CF；

④S△AOC+S△ABC＝S△AOB→AOCF+ABCE＝OAAB→CF＝3﹣；

⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以优化吗？

（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路

①甲说：S△AOC和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；

②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；

③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．

请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？

（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）方法可以优化．见解析。本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．

（2）R＝．

【解析】

（1）根据甲、乙、丙的三种思路解决问题即可；

（2）根据S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，利用面积法解决问题即可．

解：（1）方法可以优化．

方法一：如图2﹣1中，作CE⊥OA于E，CF⊥AB于F．

∵CA平分∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB，

∴CE＝CF，

∵= ＝=，

∴OC＝OB＝2﹣2．

方法二：如图2﹣2中，在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG．

∵AO＝AG，∠OAC＝∠CAG，AC＝AC，

∴△ACO≌△ACG（SAS），

∴OC＝CG，

∵∠AOC＝∠AGC＝60°，∠ABO＝30°，∠AGC＝∠GCB+∠ABO，

∴∠GCB＝∠GBC，

∴GC＝GB，

∴OC＝GB＝2﹣2．

方法三：如图2﹣3中，延长AC交△ABC的外接圆于点N，连接ON，BN．

易知N（2，﹣2），

∵A（1，），

∴直线AN的解析式为y＝（﹣2﹣）x+2+2，

令y＝0，得到x＝2﹣2，

∴C（2﹣2），

∴OC＝2﹣2．

本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．

（2）如图1中，连接OB，OE，OD，OF．

∵⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F，

∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC，

∵S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，

∴S＝cR+aR﹣bR，

∴R＝ ．