Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120，以A为顶点的的等边三角形ADE绕点A在∠BAC内旋转，AD、AE与BC边分别交于点F、G若点B关于直线AD的对称点为M，MG⊥BC，则BF的长为____________.

Answer 1

【答案】

【解析】作AH⊥BC于H，如图1，

∵AB=AC=6，∠BAC=120°，

∴∠B=30°，BH=CH，

在Rt△ABH中，AH=AB=3，BH=AH=3，，

∴BC=2BH=6，

把△ACG绕点A顺时针旋转120°得到△ABN，连结FN、AM，FM，如图2，

则BN=CG，AG=AG，∠ABN=∠C=30°，∠1=∠BAN，

∴∠FBN=60°，

∵∠FAG=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠FAN=60°，

在△AFG和△AFN中， ，

∴△AFG≌△AFN，

∴FG=FN，

∵点B关于直线AD的对称点为M，

∴FB=FM，AB=AM，∠2=∠3，

而∠3+∠4=60°，∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠4，

而AC=AB=AM，

∴△AMG与△ACG关于AG对称，

∴GM=GC，

∴GM=BN，

在△FMG和△FBN中， ，

∴△FMG≌△FBN，

∴∠FGM=∠BNF=90°，

在Rt△BFN中，∵∠FBN=60°，∴BN=BF，FN=BF，

∴CG=BF，FG=BF，

∴BF+BF+BF=BC=6，

∴BF=6-6，

故答案为：6-6．